PROGRAMME DE MATHEMATIQUES

1. ALGÈBRE LINÉAIRE

Le corps de base est R ou C.

A - Espaces vectoriels et application linéaires

Espace vectoriels ; applications linéaires, noyau, image ; Isomorphisme ; Sous-espaces vectoriels, sommes directes, sous-espèces supplémentaires
Espaces vectoriels de dimension finie, bases, rang d'une application linéaire.

B - Matrices
Matrices à n lignes et p colonnes ; opérations sur les matrices ; transpositions ; matrices carrées à n lignes et n colonnes ; groupe des matrices inversibles.
Matrices d'une application linéaire : effet d'un changement de base(s), matrices équivalentes, matrices semblables.

2. FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE

A - Suites et séries de nombres réels

Énoncé des propriétés de R (admises)
Suite de nombres réels. Suites monotones. Suites définies par une relation de récurrence Un + 1 : F(Un)

B - Continuité et dérivation

a) Fonctions numériques d'une variable réelle
Notion de limite. infiniment petits et infiniment grands.
Théorèmes sur les limites.
Continuité d'une fonction. Énoncé des propriétés des fonctions continues sur un intervalle (sans démonstration).
Fonctions monotones. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

b) Notion de dérivée
Calcul des dérivées, dérivée d'une fonction composée, d'une fonction réciproque, Fonction dérivée, dérivées d'ordre supérieur.

c) Théorème des accroissements finis. Sens de variation d'une fonction dérivable. Graphe.

C - Fonctions Usuelles
Fonctions polynômes, fonctions rationnelles
Fonctions circulaires directes et réciproques
Fonctions logarithmiques et exponentielles
Fonctions puissances Fonction t - - - )e
Comparaison, pour x tendant vers l'infini, des fonctions x, a, 1n x

D - Intégration

a) Définition et propriétés de l'intégrale d'une fonction continue, lien avec les primitives (la présentation n'est pas imposée ; on peut admettre qu'une fonction continue possède une primitive). Inégalité de la moyenne.

b) Calcul de primitives et d'intégrales. Changement de variables. Intégration par parties. Exemples. Exercices simples d'intégration de fonctions (par exemple fonctions rationnelles, exponentielles - polynômes).

E - Méthodes d'approximation

Approximation locale des fonctions. Formule de Taylor. Développements limités. Application à la recherche des limites.
 

PREPA B/L LYON - LYCEE SAINT-MARC - PREPA B/L LYON